SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

CHUÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC

 

 

 

Mở đầu

 

Trước khi nghiên cứu về bất đẳng thức, ta cần nhắc lại định nghĩa, cũng như những tính chất cơ bản của nó.

 

·        Định nghĩa:

 

     +   a nhỏ hơn b, kí hiệu là a < b nếu a − b < 0

     +   a lớn hơn b, kí hiệu là a > b nếu a − b > 0

     +   a nhỏ hơn hoặc bằng b (a không lớn hơn b), kí hiệu là a £ b nếu a − b £ 0

     +   a lớn hơn hoặc bằng b (a không nhỏ hơn b), kí hiệu là a ³ b nếu a − b ³ 0

Ta gọi mỗi hệ thức dạng a < b, a > b, a £ b, a ³ b là một bất đẳng thức. Trong đó, a gọi là vế trái (VT), b gọi là vế phải (VP) của bất đẳng thức.

 

·        Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức:

+   a > b  Û  b < a

+   a > b, b > c Û a > c

+   a > b Û a + c > b + c

+   a > b, c > d Þ  a + c > b + d

     a > b, c < d Þ a − c > b − d

+   a > b, c > 0 Þ ac > bc

     a > b, c < 0 Þ ac < bc

+   a > b ³ 0, c > d ³ 0 Þ ac > bd

+   a > b > 0 Þ a  > b    

     a > b Û a  > b      (n lẻ)

     |a| > |b| Û a  > b    (n chẵn)

 +  a > b, ab > 0 Þ   <

 

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN

·        A  ³ 0    với "A. Dấu “=” xảy ra Û A = 0

·        |A| ³ A   với "A. Dấu “=” xảy ra Û A ³ 0

·        a  + b  + c  ³  ab + bc + ca    Ü    a  + b  ³  2ab    Þ    (a + b)  ³  4ab

                 ß                                                                                   ß

3(a  + b  + c ) ³ (a + b + c)  ("a, b, c)                             + ³    (a, b > 0)

·        Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (Bất đẳng
thức AM-GM)

·        Bất đẳng thức Cauchy (Bất đẳng thức Bunyakovsky hay bất đẳng thức
Cauchy - Bunyakovsky - Schwarz (viết tắt là BCS), bất đẳng thức Schwarz hoặc bất đẳng thức Cauchy - Schwarz)

 

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

 

 

 

A. KIÊN THỨC CẦN NHỚ

 

 

I. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA

 

Để chứng minh a < b (hoặc a > b hoặc a £ b hoặc a ³ b), ta cần chứng minh
a − b < 0. Ta xét một số ví dụ sau đây.

 

 

v      VÍ DỤ 1. Chứng minh a  + b  + c  ³ ab + bc + ca   với mọi a, b, c.

 

Giải: Xét hiệu:

A    =     (a  + b  + c ) − (ab + bc + ca)

       =      (a  − 2ab + b ) + (b  − 2bc + c ) + (c  − 2ca + a )

       =     (a − b)  + (b − c)  + (c − a)     ³     0       "a, b, c.

Vì A ³ 0 nên a  + b  + c  ³ ab + bc + ca

Dấu “=” xảy ra Û a = b = c.

 

 

v      VÍ DỤ 2. Cho các biểu thức sau:

                                A   =   (a + b)(a  + b )

                       và     B   =   (a  + b )(a  + b )              với a, b ³ 0

                      So sánh A và B.

 

Giải: Xét hiệu

A − B   =   (a + b)(a  + b ) − (a  + b )(a  + b )

             =   (a  + b  + a b + ab ) − (a  + b  + a b  + a b )                   

             =   a b − a b  − a b  + ab  

             =   a b(a − b) − ab (a − b)

             =   ab(a − b)(a  − b )

             =   ab(a + b)(a − b)    ³    0            vì a, b ³ 0

Do đó A ³ B.

Dấu “=” xảy ra Û a = 0 hoặc b = 0 hoặc a = b.

 

      

v       VÍ DỤ 3. Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số dương a, b: 
             +   ³ 

 

Giải: Xét hiệu + − = − = = ³ 0

Þ VT ³ VP. Bất đẳng thức được chứng minh.

Dấu “=” xảy ra Û a = b.

 

 

II. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

 

Ta cần biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh là A < B về bất đẳng thức
C < D nào đó mà ta đã biết là đúng.

 

 

v      VÍ DỤ 4. Chứng minh rằng:  |a| + |b| ³ |a + b|    "a, b.

 

Giải: Nhận xét:     |x|  = x   với "x     và     |x|.|y| = |xy|     "x, y.

Ta có:

|a| + |b| ³ |a + b|    Û    (|a| + |b|)  ³ (|a + b|)   

Û            |a|  + 2|a|.|b| + |b|  ³ (a + b)     

Û            a  + 2|ab| + b  ³ a  + 2ab + b      

Û            |ab| ³ ab      (đúng với mọi a, b).

Vậy bất đẳng thức cần chứng minh là đúng.

Dấu “=” xảy ra Û ab ³ 0.

 

Chú ý: Ngoài ra, ta còn có một bất đẳng thức khác cũng liên quan tới dấu giá trị tuyệt đối:         |a| − |b| £ |a − b|     (Dấu “=” xảy ra Û ab ³ 0).

 

 

v      VÍ DỤ 5. Với a, b ³ 0, chứng minh rằng:     + ³

 

Giải: Ta có: + ³

Û a + 2 + b ³ a + b Û ³ 0 (đúng với mọi a, b ³ 0)

Vậy bất đẳng thức xuất phát cũng đúng.

Dấu “=” xảy ra Û a = 0 hoặc b = 0.

 

 

v      VÍ DỤ 6. Cho a, b, c là ba số thực bất kì. Chứng minh bất đẳng thức:

 

Giải: Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

Bất đẳng thức cuối cùng là đúng, kéo theo bất đẳng thức cần chứng minh cũng đúng.

Dấu “=” xảy ra Û a = b = c.

Θ Yêu cầu:

 

·      Hãy giải các ví dụ 1, 2, 3 ở phần I. bằng phương pháp biến đổi tương đương.

·      Hãy giải các ví dụ 4, 5, 6 ở phần II. bằng phương pháp sử dụng định nghĩa.

 

 

III. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC

 

 

Bạn đọc hãy xem lại tính chất của bất đẳng thức trong phần Mở đầu trước khi xem xét các ví dụ bởi vì muốn chứng minh một bất đẳng thức nào đó bằng phương pháp này đòi hỏi phải sử dụng thành thạo các tính chất cơ bản của bất đẳng thức.

 

 

v      VÍ DỤ 7. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh:

 

Giải: Ta cần chứng minh hai bất đẳng thức:

     

 

·          Chứng minh bất đẳng thức      (1)

Vì a, b, c > 0 nên ta có:

 

·          Chứng minh bất đẳng thức 

Đầu tiên, ta cần chứng minh một bất đẳng thức phụ:     

với 0 < x < y và z > 0.

(Bạn đọc có thể dễ dàng chứn