CHUYÊN ĐỀ

  SO SÁNH HAI PHÂN SỐ

1. KIẾN THỨC CƠ BẢN.

- Nắm được các phương pháp cơ bản để so sánh hai phân số, hiểu các thuật ngữ toán học như phần bù của 1, phần thừa của 1...

- Biết nhận dạng các dạng bài tập từ đó có định hướng đúng để sử dụng các phương pháp so sánh hai phân số một cách thích hợp tìm ra lời giải của bài toán

- Có thể tự tạo ra bài tập mới bằng các phương pháp tương tự hoá, tổng quát hoá bài toán ban đầu ..

B. NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC

I/ Nhắc lại kiến thức cơ bản

- Để so sánh hai phân số ta thường đưa chúng về hai phân số có cùng mẫu số là số dương, phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn

Tổng quát:

- Ngoài ra còn một số phương pháp khác như sau:

1/ Quy đồng đưa về hai phân số có cùng tử số là số dương: Phân số nào có mẫu lớn hơn thì phân số đó lớn hơn

2/ Sử dụng phần bù hoặc phần thừa của 1

VD: So sánh và với a là số tự nhiên khác 0

Lời giải:

C1: Quy đồng đưa về cùng mẫu số

C2: Ta có: còn

Mà >

Vậy: <

3/ Dùng phân số trung gian hoặc tính chất bắc cầu của bất đẳng thức

VD1: Cho hai phân số  và   với

Hãy so sánh A và B

Lời giải:

Nhận xét: - Nếu m = 1 thì A = B

                  - Với m > 1 ta  so sánh mA và mB từ đó dễ dàng so sánh A và B

Ta có:

         

vì  vậy A > B

Mở rộng: Bài toán vẫn đúng khi được tổng quát hoá thành dạng

 và   với

VD2:Một phân số có tử  và mẫu đều là các số nguyên dương. Nếu cộng cả tử và mẫu của phân số đó với cùng một số tự nhiên  thì phân số đó thay đổi như thế nào?

 

Lời giải:

Gọi phân số đó là . Ta xét  ba trường hợp: a = b; a > b;  a< b

- Trường hợp a = b ta có:

==. Vậy giá trị của phân số không thay đổi

- Trường  hợp a > b ta có:( >1)

Còn

Vì

Vậy: Khi cộng cả tử và mẫu của một phân số lớn hơn 1 (cả tử và mẫu đều là số dương) với cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số mới có giá trị lớn hơn giá trị của phân số ban đầu

-Trường  hợp a < b ta có:( <1)

Còn

Vì   Nên

Vậy: Khi cộng cả tử và mẫu của một phân  nhỏ hơn  1 (cả tử và mẫu đều là số dương) với cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số mới có giá trị nhỏ hơn giá trị của phân số ban đầu

VD3: Tìm số tự nhiên x sao cho

Lời giải:

Ta có:

Hay  135 < 11x < 150

Vậy x = 13

Phương pháp chung: Tìm mẫu thức chung của phân số từ đó xét tử số và tìm các giá trị của x thoả mãn bài toán

VD4: Chứng minh rằng:

Lời giải: Xét vế trái ta có

 Đpcm

C. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Bài 1: So sánh các biểu thức A và B  biết:

     với 

   với 

Bài 2: Chứng minh rằng:

a) 

b)

c)

d)

e)

 

Bài 3: Tìm số tự nhiên x biết:

                                                    

Bài 4: Tìm hai phân số có cùng mẫu là 17 mà tử số là các số tự nhiên liên tiếp để phân số  nằm giữa hai phân số đó

Bài 5: Tìm hai phân số có tử là 1, mẫu là hai số tự nhiên liên tiếp sao cho phân số  nằm giữa hai phân số đó

Bài 6: Tìm hai phân số có mẫu là 21 và nằm giữa hai phân số  và

Bài 7: Chứng minh rằng có vô số các phân số nằm giữa hai phân số  và  với  và

D. HƯỚNG  DẪN GIẢI

Bài 1.b/: Xét hiệu A – B < 0 suy ra A < B

        c/ Dùng phần thừa của 1

 

                                                                                                   NGƯỜI VIẾT

 

 

 

                                                                                                   Nguyễn Thị Nga.