Hồi đó, ở Hà Nội, phong trào bồi dưỡng học sinh giỏi Toán rất sôi nổi. Một vấn đề đặt ra là bồi dưỡng cái gì? Những “mẹo mực” giải toán để làm cho các em trở thành người giải toán - “thợ” giải toán giỏi hay là trang bị cho các em những phương pháp, tư duy cách học toán tích cực chủ động hơn. Tôi có dự một vài giờ “bồi dưỡng” học sinh giỏi toán, và có lần đã được dự một giờ học toán như thế. Giờ học diễn ra dưới dạng “Hội thoại - trao đổi” và xuất phát từ một bài toán đơn giản về đếm hình ở Tiểu học.
GV: Nào, chúng ta bắt đầu từ một bài toán đơn giản: “Trong hình bên có bao nhiêu hình tam giác?”
- HS1: Có 3 hình ạ!
- GV: Em đếm bằng cách nào?
- HS1: Em ghi chữ và liệt kê các tam giác rồi đếm, chẳng hạn 3 tam giác là: ABM, MAC, BMC.
- GV: Ai có cách đếm khác?
- HS2: Em đánh số và liệt kê các tam giác rồi đếm theo hình đơn trước, hình ghép sau: Chẳng hạn 3 tam giác là: hình 1, hình 2, hình (1+2).
- GV: Các em đều làm đúng. Nhưng cách đếm thứ nhất không theo quy luật nào, dễ nhầm lẫn hoặc còn sót, nếu như các đỉnh tam giác nhiều lên (như hình bên).
Cách đếm thứ hai có tốt hơn, vì việc đánh số và đếm theo thứ tự hình đơn, hình ghép đôi, ghép ba ... sẽ không bỏ sót hình, nhưng cũng sẽ “vất vả” hơn khi phải liệt kê quá nhiều tam giác (với số điểm tăng lên) rồi mới đếm theo cách “thủ công” từ một, hai, ba, ...
- GV (tiếp): Các em có nhận xét gì về đặc điểm các hình tam giác này, từ đó liên hệ tới một cách đếm nào thuận tiện hơn?
- HS3: Các tam giác đều có chung đỉnh M và có đáy là các đoạn thẳng ở trên một đường thẳng. (HS nhận xét được như vậy, không có liên hệ gì hơn. Cả lớp im lặng, suy nghĩ tiếp. Cô giáo gợi ý chuyển sang bài toán khác).
- GV: Đúng vậy. Các em có thấy số tam giác chính bằng số đáy của các tam giác đó? Số đáy này lại là số các đoạn thẳng được tạo thành từ việc nối hai điểm trong các điểm đã cho ở trên đưởng thẳng. Chẳng hạn, từ ba điểm A, B, C ta có 3 đoạn AB, BC, AC ứng với 3 tam giác MAB, MBC và MAC. Từ đây ta chuyển sang bài toán: “Trong hình dưới đây có bao nhiêu đoạn thẳng?”.
* HS dễ dàng thấy được có ba đoạn thẳng bằng các cách đếm tương tự như ở trên, song cũng có em nêu được một cách đếm khác có tính khái quát hơn, chẳng hạn: “Với một điểm, có hai đoạn thẳng nối từ đó tới hai điểm còn lại. Với ba điểm, ta có 6 đoạn thẳng (2 x 3 = 6), nhưng như vậy mỗi đoạn thẳng đã đếm hai lần, nên thực chỉ có 3 đoạn thẳng (6 : 2 = 3)”. Với sự dẫn dắt của cô giáo, HS có thể đếm số đoạn thẳng từ nhiều điểm hơn, chẳng hạn ở hình dưới, với 6 điểm trên đường thẳng thì một điểm ứng với 5 đoạn, 6 điểm ứng với 5 x 6 = 30 (đoạn), trong đó mỗi đoạn thẳng được tính 2 lần nên số đoạn thẳng là: 5 x 6 : 2 = 15 (đoạn))
* HS có thể nhận xét: “Muốn tìm số đoạn thẳng trong các bài toán dạng trên, có thể lấy số điểm nhân với số điểm đó trừ đi 1, rồi chia cho 2”. Rõ ràng từ nhận xét này các em có thể đếm số tam giác ở các bài toán trên thuận tiện hơn.
Điều hay ở giờ học này không chỉ cung cấp cho các em một cách đếm khác thuận tiện hơn, mà còn giúp các em một cách suy nghĩ, một phương pháp “tương tự”, óc khái quát khi tập quan sát, giải quyết vấn đề ... Sự phát triển của giờ học này chưa dừng lại ở đây, cô giáo còn dẫn dắt các em nhiều điều “lý thú” khác nữa.
Từ một bài toán “đếm hình” đơn giản (Hình 1), cô giáo đã dẫn HS sang bài toán “đếm số đoạn thẳng” (Hình 2).
Sau đó, bài học được tiếp tục:
- GV: Số đoạn thẳng đếm được trong hình 2 có phụ thuộc vào yếu tố “thẳng hàng” của các điểm không? Ta có thể mở rộng thành bài toán nào?
- HS: Thưa cô, các điểm đã cho không cần phải “thẳng hàng”. Em có bài toán: “Cho 8 điểm, hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nối được từ hai trong 8 điểm đó?”. Em có thể tính được là:
8 x 7 : 2 = 28 (đoạn).
- GV: Em làm đúng. Bây giờ hãy coi mỗi điểm là “một người”, mỗi đoạn thẳng nối hai điểm như là “một cái bắt tay” giữa hai người. Các em hãy làm bài toán sau: “Trong một cuộc họp có 20 người, ai cũng bắt tay với người khác. Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay?”
- HS: Dễ dàng giải được: Số cái bắt tay có là: 20 x 19 : 2 = 190 (cái bắt tay).
- GV: Các em có thể nghĩ được các bài toán “tương tự” không?
- HS1: Em có bài toán: “Trong giải bóng đá Quốc gia có 12 đội tham dự và thi đấu vòng tròn một lượt. Hỏi có tất cả bao nhiêu trận đấu?”. Bài này giải tương tự bài “bắt tay”, em tính được số trận đấu có là: 12 x 11 : 2 = 66 (trận).
- HS2: Em cũng có bài toán: “Từ 4 chữ số: 3, 5, 8, 6 ta có thể lập được bao nhiêu số có hai chữ số khác nhau?”. Em cũng có cách giải tương tự bài “bắt tay”, số các số có hai chữ số khác nhau là: 4 x 3 : 2 = 6 (số).
- GV: Các em nêu được các bài toán như vậy là tốt. Ai có nhận xét gì về cách giải hai bài toán trên của hai bạn? Một vài phút im lặng, sau đó có một HS mạnh dạn trao đổi:
- HS3: Thưa cô, em thấy cách giải thứ nhất được ạ! (đúng là có 66 trận đấu) Nhưng ở cách giải bài thứ hai em thấy chưa được ạ! Không phải là có 6 số. Em viết ra được 12 số sau: 35, 36, 38, 53, 56, 58, 63, 65, 68, 83, 85, 86. Sao lại thế ạ? áp dụng “nhận xét” để giải như bài “bắt tay” ở bài này lại sai?
- GV: Vấn đề là ở chỗ đó. Các em có thể phân biệt được bài “bắt tay” với bài “lập số có hai chữ số” như trên có điểm gì khác nhau?
- HS4 (sau khi suy nghĩ): Em thấy nếu A bắt tay B thì cũng như B bắt tay A, như vậy chỉ được tính là một cái bắt tay. Còn nếu ghép chữ số 3 với 5 và ghép chữ số 5 với 3, ta lại được hai số khác nhau là 35 và 53. Như vậy phải tính hai lần, không chia tích cho 2 như “nhận xét” nữa. ở bài thứ hai, số các số có hai chữ số là: 4 x 3 = 12 (số)
- GV (khái quát): Đúng. Hai bài toán nêu trên có điểm giống nhau là: cùng ghép (nối) hai “phần tử” nào đó trong một số “phần tử” đã cho rồi đếm số “ghép nối” đó. Nhưng khác nhau ở chỗ nếu cách “ghép đôi” đó không kể thứ tự trước - sau thì ta lấy số “phần tử” nhân với “số phần tử trừ đi một” rồi chia cho 2. Nếu cách “ghép đôi” đó được kể cả thứ tự trước - sau thì không chia tích cho 2 nữa (Lưu ý tới “đặc điểm” của mỗi bài toán để có cách giải thích hợp). Chẳng hạn, về nhà các em có thể tự làm các bài toán sau:
Bài 1: Cô giáo muốn chọn hai bạn, một bạn làm lớp trưởng, một bạn làm lớp phó. Có 8 bạn có khả năng như vậy. Hỏi từ 8 bạn đó có thể có bao nhiêu cách chọn hai bạn để làm lớp trưởng, lớp phó?
Bài 2: Hình tứ giác có 2 đường chéo. Hỏi hình 8 cạnh có bao nhiêu đường chéo? (Đường chéo là đoạn thẳng nối 2 đỉnh không liền nhau).
Bài 3: Từ 8 chữ số: 2, 0, 1, 4, 8, 5, 9, 6 có thể lập được bao nhiêu số có hai chữ số khác nhau?
Giờ học hết. Tôi nghĩ rằng với cách học như thế, các em được dẫn dắt từ bài toán này đến bài toán khác một cách tự nhiên, hứng thú, điều đó sẽ giúp các em học Toán một cách tích cực hơn, chủ động và sáng tạo hơn. Rõ ràng với các em, cách học này không những chỉ thu được các kỹ năng giải toán, mà các em còn học tập được cách suy nghĩ, cách phát hiện và giải quyết vấn đề trước một bài toán (một tình huống) trong thực tế.

(Tác giả: Thầy Nguyễn Áng. Sở Giáo dục - Đào tạo Hà Nội)