Suy nghĩ từ một bài toán (*)

Bài toán yêu cầu ta tính Ax3, khi đó hướng giải bài toán như sau:

Ax3 = 1x2x3 + 2x3x3 + 3x4x3 + ... + 19x20x3

= 1x2x(3-0) + 2x3x(4-1) + 3x4x(5-2) + ... +19x20x(21-18)

= 1x2x3 - 1x2x0 + 2x3x4 - 1x2x3 + 3x4x5 - 2x3x4 + ... + 19x20x21 - 18x19x20

= 19x20x21

Liệu có thể tìm được A không? Rõ ràng là được vì khi đó ta có: A = 19x20x21 : 3 = 7x19x20

Như vậy hướng phát triển của bài toán là tìm A chứ không phải chỉ dừng lại ở tìm Ax3. Ta sẽ chú ý tới hướng phát triển của bài toán đó để ra tiếp cho học sinh bài toán sau đây.

Bài toán 2: Cho B = 2x4 + 4 x6 + 6x8 + ... + 18x20. Tính B?

Trong bài toán 1 mà bắt tìm A thì trước hết học sinh thấy phải tìm được Ax3. Vậy với bài toán 2, để tìm được B thì trước hết phải tìm được tích của B nhân với một số nào đó.

Đa số suy nghĩ của học sinh theo hướng sau đây: Ở bài toán 1, mỗi số hạng đều là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp và thừa số thứ 2 của số hạng thứ nhất lại là thừa số thứ nhất của số hạng thứ hai... Số hạng đầu là 1x2. Vậy theo quy luật thì số liền sau của số 2 là số 3 do đó ta tính được Ax3. Ở bài toán 2, mỗi số hạng đều là tích của 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp và thừa số thứ hai của số hạng thứ nhất lại là thừa số thứ nhất của số hạng thứ hai... Số hạng đầu là 2x4. Vậy theo quy luật thì số liền sau của số 4 là số 6 do đó ta tính được Bx6 trước. Đúng vậy ta tính được Bx6 của bài toán 2 như sau:

Bx6 = 2x4x6 + 4x6x6 + 6x8x6 + ... + 18x20x6

= 2x4x(6-0) + 4x6x(8-2) + 6x8x(10-4) + ... + 18x20x(22-16)

= 2x4x6 - 0x2x4 + 4x6x8 - 2x4x6 + 6x8x10 - 4x6x8 + ... + 18x20x22 - 16x18x20

= 18x20x22

Do đó ta tính được B = 18x20x22 : 6 = 3x20x22

Đến đây học sinh rất hưng phấn muốn làm thêm các bài tập dạng này nữa. Đúng vào thời điểm này ta đưa cho học sinh bài toán 3 sau đây:

Ảnh minh họa.

Bài toán 3: Cho C = 4x7 + 7x10 + 10x13 + ... + 31x34. Tính C?

Chắc chắn có em sẽ xung phong làm ngay bằng cách tính Cx10 trước (do dựa vào cách tính của bài toán 1 và bài toán 2). Nhưng rồi nếu tính Cx10 thì các em sẽ không tìm được quy luật để phân tích mỗi số hạng thành 2 số có khả năng triệt tiêu lẫn nhau như 2 bài toán trên. Đến đây giáo viên phải yêu cầu học sinh suy nghĩ lại việc quyết định tìm số để nhân với C. Gợi ý cho học sinh, nếu mỗi số hạng là tích 2 thừa số thì khi phân tích xong mỗi số hạng gồm 3 thừa số và các thừa số này vẫn có quy luật đúng theo quy luật cách đều. Căn cứ vào phát kiến của học sinh (nếu có), giáo viên đưa ra kết luận cuối cùng là: Số được nhân với C (hoặc A, hoặc B) là hiệu của 2 số đứng liền trước và liền sau của số hạng lớn nhất trong tổng (theo quy luật cách đều).

Ví dụ: Trong bài toán 1 thì số hạng lớn nhất là 19x20.

Số liền trước theo quy luật là 18.

Số liền sau theo quy luật là 21.

Hiệu 2 số đó là 21 - 18 = 3.

Vậy ta tính được Ax3 trước.

Trong bài toán 2 thì số hạng lớn nhất là 18x20.

Số liền trước theo quy luật là 16.

Số liền sau theo quy luật là 22.

Hiệu 2 số đó là 22 - 16 = 6. Vậy ta tính được Bx6 trước.

Trong bài toán 3 thì số hạng lớn nhất là 31x34.

Số liền trước theo quy luật là 28.

Số liền sau theo quy luật là 37.

Hiệu 2 số đó là 37 - 28 = 9.

Vậy ta tính được Cx9 trước như sau:

Cx9 = 4x7x9 + 7x10x9 + 10x13x9 + ... + 31x34x9

= 4x7x(10-1) + 7x10x(13-4) + 10x13x(16-7) + ... + 31x34x(37-28)

= 4x7x10 - 1x4x7 + 7x10x13 - 4x7x10 + 10x13x16 - 7x10x13 + ... +31x34x37 - 28x31x34

= 31x34x37 - 1x4x7

Do đó ta tính được C = (31x34x37 - 1x4x7) : 9

Đến đây thì học sinh mới nắm được bản chất của vấn đề, giáo viên có thể để học sinh tự ra đề bài, sau đó phát triển thêm cả về chiều rộng và chiều sâu, ví dụ:

- Mỗi số hạng có 3,4,... thừa số.

- Tăng khoảng cách giữa các thừa số trong một số hạng.

- Có thể thêm, bớt số hạng ở đầu hoặc cuối.

Trên đây là một hướng dẫn của bản thân tôi trong quá trình suy nghĩ và giảng dạy loại toán này. Rất mong được sự trao đổi của đồng nghiệp và độc giả.